“三角函数—值域”教学案例

上海市彭浦中学  徐启全

课程名称：高中一年级  数学

案例名　：三角函数单元――值域

主要的问题：计算三角函数的值域的方法及育人环境的构建

研究框架：把“不会做”转变成“会做”的教学方法，惩罚教育手段的优劣

其他问题：教学设计，思维训练方法

一、        背景材料

她是一名性格直率、颇具争议的高中数学老师，对她的评价有两个极端：一个极端认为她“很好”，有事实为证：在学校组织的考试中她所教班级平均分要比平行班级最多高出20分左右，名列前茅，在区统测中班级平均分要高出同类学校10分之多，在高考中学生的数学考分整体看要高出其他学生一大截；另一个极端则认为她“不好”、“太凶”，同样有事实为证：有的学生对她的“教态”不理解、不适应，情绪对立，不时有学生或家长向学校乃至教育局领导“告大状”。为什么会有这么大的反差？倘若说她不爱学生，那怎么能取得那么好的成绩？倘若说她爱学生，为什么有的学生或家长还要去告她的状？另外，她对教学又是怎样理解的？

正好借“蹲班”听课之便，带着上述疑惑，我对她的课进行了为期两周的系列观察。这里需要声明一下：之前我们曾有一个约定，我希望听到她“原生态”的课，即原汁原味的常态课，即要像我不在教室内一样地上课，而我则不评价、不议论她的课，仅仅进行课堂观察。在这里把她的课拿出来供大家评判，已有“违约”之嫌，令我感到惶恐。但若能从中发现其教学之精彩之处，若能找到引起情绪不满之根源，我想这样于读者、于授课者本人可能会产生些许启迪，心里也会有所释然，不算枉费笔墨了。

二、        组织实施

三角函数单元的教学内容主要有：定义域、图像、值域、最值、奇偶性、单调性、周期（最小正周期）等。本单元计划课时：8节。

下面所提供的这节课是“值域”一节课的课堂实录。是在讲授定义域、最值、奇偶性、单调性、周期之后再主讲的。

(一)上课、订正作业错误：(执行时间：2008年5月5日(星期一)下午)

师：先订正讲解：习题7、y = 2 sin x +2 cos (x+π/6 )有部分学生做错，这是两个三角函数的复合题，因此就“不会”做了。

师：我们只会做最基本的、最简单的“一个函数”！那就要设法把它们变成“一个函数”！方法是：

打开再合并：y = 2 sin x +2 cos (x+π/6 )

　　　　　　　= 2 sin x + 2 (cos x cosπ/6 - sin x sinπ/6 )

              = sin x + cos x

              = 2 sin (x+π/3)

师：还有问题吗？

生：(齐答)没有了。

师：那好，剩下的事情自己做。

习题8、y = sin ² x - cos² x .

师：同样的，降幂后变成“一个函数”！

y = sin ² x - cos² x

 =

= - cos 2x

师：还有问题吗？没有了？好。

师：突然生气地说：“受够了几个抄作业的!”，点了两个学生的名字，“下课后到办公室去!”

（二）开始新课：

师：今天主要讲如何求三角函数的值域。(开始板书例题，每一道题基本上由一名学生回答)：

1、y =  sin² x - sin x

生：y =  sin² x - sin x =

生：讨论上式知：当sin x＝ 时，有y_min = -

　　　　　　　　　当sin x＝－1时，有y_max= 2.

2、y =  sin² 2x - sin 2x （把x变为2x，过程略）

3、y = - cos² x + cos x +1（把sin变为cos，增加负系数，并增加常数项，难度增加）

4、y = 3cos² x - cos x +1（巩固上例，在符号及系数变化上进一步强化）

5、y = （增加三角函数幂次、变换符号，让学生在解题中能从前几题中找到相应的方法，如降幂、换元、二次函数型函数求值域等）

6、y = 　（出现分式函数，提高难度）

生：y =

= 1-

生：∵　-1≤cos x≤1

        1≤cos x+2≤3

1≥ ≥

　　∴1≥ ≥

- 4≤ ≤-

∴ - 3≤ +1≤-

师：由上可见，对分式函数采用“凑分母”的方法可行。有无其他的方法？

生：(大部分答)有。

师：关于“x”的这一块的值有固定的取值范围，所以可以利用“反函数”与“原函数”的定义域及值域之间的关系，进而来求y的值域。下一位同学来解答。

生：把原式打开，整理后，可得

　　　　　　　　　即：-1≤ ≤1

得 -3≤y≤- , y≠1(显然满足)。哪种方法比较简单，自己判断思考。

7、y = (巩固分式函数，分母不能为零的讨论，因此要进行分段处理)

生：∵-1≤sin x≤1

    ∴ -2≤2sin x≤2

      -1≤2sin x+1≤3

师：(提醒学生该式是错的) ∵2sin x+1≠0 即分母不能为0。

师：(问)怎么办？

生：应当分段写成：-1≤2sin x+1<0；0<2sin x+1≤3后，再分别求解，转换后得：

                   ≤-1 ， ≥ 。

8、y = (巩固用反函数求解，并巩固掌握分母不为零的条件限制，过程略)

9、y =

生A：y = = ，(该生说不下去了，神情有些窘迫)

师：(提示)换一种思路呢？

生A：（思考有近2分钟）可用三角函数的有界性求解。先对原式变形，整理得

　即：

(开始时，该生曾把y cos x 说成cos x y ，被老师讥讽道：“没有数学修养的才这样写，有数学修养的是不会这么写的。”)

生A：（犹豫，不知怎么做）

师：退一步想想，要把含有两个三角函数的复合函数变为一个函数，该怎么办？

生A：（无语）

师：（启发道）引入辅助角后，用“两角和的正弦公式”可以把上式化成一个正弦函数吗？

生A：好像可以。

师：应怎么引入辅助角？

生A：不会。

师：那么“两角和的正弦公式”怎么写？

生A：（答不出）

师：（生气）出去！带着你的书，背公式去！

师：生B接着回答。

生B：可以引入辅助角φ，令tanφ = y ，则等式左边可用两角和的正弦公式化为：

　　　　　　　　　　∴

　由正弦函数值域，可得：

最后求得：  y ∈［ 0 ，  ］

10、y =

师：(提示引导)当sin x、cos x以加减和乘的形式在一个式子中出现时，

可以采用  令：sin x + cos x = t  这个方法，变成耐克函数进行讨论。

生C：令分母sin x + cos x = t 则由两角和的正弦公式，得

  (对于分子，不知如何处理)

师：(引导)那么 等于什么？

生C：等于 sin² x + 2 sin x cos x +cos² x

师：接下来怎么办？

生c：不知道了。

师：那么sin² x + cos² x 等于什么？

生C：(想了一会)不知道，……

师：(由生气转愤怒)你哪个乡下来的？出去!

师：生D继续回答。

生D：sin² x + cos² x = 1，即为：sin² x + 2 sin x cos x +cos² x = 2 sin x cos x +1

  注意到sin x + cos x = t ，因此有对于分子sin x cos x ，可以写成：

            sin x cos x =

       ∴ y =     ∴y∈R

11、 y = sin x + cos x + 2 sin x cos x +1   x ∈ ［ 0 ，  ］   

(巩固上一题的处理方法)

(三)下课。布置作业

师：检查被“轰”的两位学生，问：“公式背会了没有”？(态度相当缓和)检查他们的笔记和作业情况后提出具体要求。

三、        事件分析

在与这位老师交谈中了解到，她的“教学策略”是：一切从“会”（最基本）的地方开始。让学生把“不会做”的转化为“会做”的，把“没见过”的转化为“见过”的，把“不熟悉”的转化为“熟悉”的，这也是她在课堂上经常说的话；她“对待问题学生的态度”是：可以容忍“不会”的学生，但不能容忍抄袭、不能容忍不用脑子思考就“胡言乱语”的学生。

从案例中可以看到，她就是按照上述策略组织教学的。即：针对本节课题的主要内容，从一个具有典型意义的、基本原题开始，围绕原题进行变题、逐步展开、由浅入深、环环相扣，具有较鲜明的特征。

她对学生回答问题的策略，一般是“一题对一生”的方法。即：由一名学生回答一道习题的解题过程，在学生答错或回答不完整时，她并非简单地让该生坐下，而是降低一个“问题台阶”，从知识点的断裂处提出较简单的相关问题来启发学生在“再回答、再思考”之中，做好铺垫，夯实基础，再跃上一个更高的台阶。学生在这一知识形成的过程中，加深了对知识结构的理解掌握，提高了解决问题的方法技能，培养了良好的思维习惯。

她对记笔记的要求与多数老师不同：学生在课堂上可以抄题目，但不得抄解答过程，但回家后要补齐解题过程，不得有遗漏，否则将会面临惩罚。她认为这样做，学生就能在课堂上注意听课，可解决课堂上“抄”、“听”二者不能兼顾的矛盾。

在个别访谈中，有部分师生说：她这样做使得“数学”占去了过多的课外时间，由此挤占了其他学科的课外时间，从而影响了学生对其他学科的学习。

在课堂上，她教态严肃，面带威严，师生互动有序。学生(尤其是回答问题的学生)注意力高度集中，精神高度紧张，他们担心若回答错误会被老师“骂”或“轰”。

被叫到办公室的学生，她挺“凶”，批评起来言语尖刻、不留情面；而对于主动到办公室来问问题的学生，她却很“柔”，她会很耐心地进行解答，哪怕是很简单的问题，她也从不发火。在学生没有问题或问完问题后，她也会与学生开玩笑、逗乐子。

四、           问题与思考

这节课的教学目标能否达到？有无超出目标要求？

课堂的精华体现在哪些方面？是否体现了从“会”的地方开始的教学策略？哪些方面属于“很好并可学”？哪些方面属于“很好，但没法学”？存在有什么欠缺？

对“学生课堂笔记”的要求是否恰当？这种方法值得效仿吗？

这种处理习题的方法，是短期有效还是长期有效？是否属于短期行为？

课堂气氛的高度紧张，对于教学及师生心理会否产生长期影响？积极影响还是消极影响的成份更大些？在这样的课堂内，学生情绪压抑度是否合适？用何种方式调控课堂情绪更有利于教学？

是否需要由老师或学生作一个“三言两语”的课堂小结？课堂小结有意义吗？是否属于无效教学行为？

在高一数学打基础阶段，规范计算的训练还有无必要继续落实？

用“轰”的方式“处罚”学生，能否达到“惩罚”教育的效果？对学生的心理会产生什么影响？

如何调适教师的教学心态与学生的自信心和能动性，使情感向良性影响方向发展？

                                  2008-5-27